박민규

좋은 개발자가 되자

[Silver II] 외판원 순회 2 - 10971

문제 링크

성능 요약

메모리: 31256 KB, 시간: 448 ms

분류

백트래킹, 브루트포스 알고리즘, 외판원 순회 문제

문제 설명

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

코드

import sys

N = int(sys.stdin.readline())
matrix = []
for _ in range(N):
    matrix.append(list(map(int, sys.stdin.readline().split())))
min_value = float('inf')

def dfs_backtracking(start, next, value, visited):
    global min_value

    if len(visited) == N:
        if matrix[next][start] != 0:
            min_value = min(min_value, value + matrix[next][start])
            return
    for i in range(N):
        if matrix[next][i] != 0 and i not in visited and value < min_value:
            visited.append(i)
            dfs_backtracking(start, i, value + matrix[next][i], visited)
            visited.pop()
    return

for i in range(N):
    dfs_backtracking(i, i, 0, [i])

print(min_value)

코드 리뷰

이 문제는 백 트래킹으로 풀어야 시간초과가 나지 않고 풀 수 있다. 만약 브루트 포스 알고리즘으로 접근하면 시간제한을 맞추기 어려워질수 있으니 참고하도록 하자. 위 dfs_backtracking함수에서 if matrix[next][i] != 0 and i not in visited and value < min_value조건이 백트래킹을 사용하기 위한 조건문이다. 또한 재귀를 사용하여 첫 눈에 이해가 가지 않을 수 있는데, 재귀의 개념에 대해 간략히 설명하자면 함수 안에서 자기 자신을 또 호출하는 것이다. 위 함수를 보면 한 바퀴 돌아 출발 도시로 다시 돌아온 경우(문제의 조건 만족), 혹은 더 이상 조건에 맞는 도시를 고를 수 없는 경우(갈 수 있는 도시가 없는 경우)에 return을 하여 재귀의 종료조건을 설정해 준다. 재귀에는 dfs_backtracking(start, i, value + matrix[next][i], visited)를 사용하는데, 이에 대해 설명하면 시작 지점은 바뀌지 않고 ‘다음에 방문할 도시, 다음 도시를 방문하면서 생기는 비용, 방문한 도시’ 3개의 매개변수를 업데이트 해주는 것이다.

for i in range(N):
    dfs_backtracking(i, i, 0, [i])

마지막으로 위 코드를 돌리며 모든 도시를 시작점으로 고려해주면 된다.

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참고